Epistemología y Didáctica (Recomendado por: Arney Rodríguez)

Epistémologie et didactique. Reserches en didactique des mathématiques. 
VOL.10, Nº 23. 1990
Traducción de un TExto escrito en francés
MARÍA FERNANDA ESPITIA OLAYA

Epistemología y didáctica
Michele Artigue

1.   Epistemología – objeto del saber científico – objetos de enseñanza

En un primer nivel, el análisis epistemológico es necesario para el didáctico ya que tiene el fin de ayudarle a colocar a distancia y bajo control las representaciones epistemológicas ² de las matemáticas inducidas por la enseñanza:

* Proporcionando una historicidad a los conceptos matemáticas que la enseñanza usual tiende  a presentar como objetos universales tanto en el tiempo como en el espacio.

*  Proporcionando, a la vez, una historicidad a las nociones matemáticas como las de rigor, ya que la enseñanza usual  cultiva la ficción de un rigor eterno y perfecto de las matemáticas.

Dentro del mundo de la enseñanza, la introducción dentro del rigor matemático se simboliza por la introducción dentro del universo de la geometría demostrativa, y la referencia implícita o explícita a la geometría griega ligada a esta representación, contribuye a conducir y reforzar esta ficción de un rigor fuera del tiempo y del espacio.

El análisis epistemológico (cf. Por ejemplo “El rigor y el cálculo” (1), E. Barbin (2)) coloca en evidencia la evolución del rigor con el paso del tiempo, su dependencia de los dominios matemáticos relativos y los niveles de elaboración de los objetos que el manipula. El ejemplo del Calculo Infinitesimal me parece particularmente significativo en esta dependencia del campo. Este se va a desarrollar, a partir del siglo XVIII, esencialmente alrededor de los métodos: método de los indivisibles (Cavalieri, Roberval...), método de igualación (Fermat), método de particiones infinitesimales (Leibniz, Bernoulli...), método de series (este ultimo constituye un proceso efectivo para el estudio de las funciones sobre todo durante el siglo XVIII). 

Y aquello que valida estos métodos, por lo menos durante los primeros tiempos, es ante todo, su carácter, es decir su capacidad de adaptación a la resolución de una gran cantidad de problemas y su productividad. El entusiasmo del extracto del prefacio del primer tratado de Calculo Infinitesimal escrito por Le Marquis de L’Hospital (4) demuestra estos sentimientos:

“El alcance de este cálculo es inmenso: es conveniente para el estudio de las curvas tanto mecánicas como geométricas, los signos radicales le son indiferentes y a menudo cómodos,  se extiende a tantas indeterminadas como se quiera; y es igualmente fácil la comparación de infinitesimales de todos los géneros Mas allá de una infinidad de descubrimientos sorprendentes”.

A través de esta relativización del rigor, el análisis epistemológico igualmente nos muestra que los problemas de fundamento esta lejos de ser siempre “primeros” en matemáticas. El ejemplo del Análisis es, por ésta razón, aún sorprendente: sus fundamentos no se aplican sino después de siglos de utilización, la investigación  sobre los fundamentos es, por otra parte, motivada mas por la necesidad de transmitir la ciencia que por las necesidades resultado del desarrollo científico. (cf. Por ejemplo Dahan, J. Peiffer (5)).

En esta dirección, aquella de la vigilancia epistemológica, de la toma de distancia con respecto al objeto de estudio,  el análisis epistemológico igualmente permite al didáctico tomar la medida de las diferencias existente entre saber “sabio”, para retomar la expresión que introdujo Y Chevallard en (6), y saber “enseñado”. De hecho, ya que la Escuela vive sobre la ficción que consiste en ver dentro de los objetos de enseñanza las copias simplificadas pero fieles de los objetos de la ciencia,  el análisis epistemológico, que nos permitimos comprender, es el que gobierna la evolución del conocimiento científico y nos ayuda a tomar conciencia de la distancia que separa las economías de los dos sistemas.

La división del saber en partes susceptibles de ser enseñadas sucesivamente a un público determinado, hace que la apropiación³ de este saber pueda ser sancionada sobre la base de un grupo restringido de competencias, por ejemplo  los inconvenientes que pesan fuertemente sobre la enseñanza pero que son desprovistos de significación en términos de la evolución del saber “sabio”.

Y. Chevallard (cf. (6)) ha traído a la didáctica de las matemáticas la noción de transposición  didáctica, inicialmente propuesta por M. Verret (cf. (8)), justamente con el fin de tener en cuenta esas diferencias.

En resumen, se ha visto en este primer fragmento que el análisis epistemológico ayuda a la didáctica a  retomar la ilusión de transparencia de los objetos que ella manipula al nivel del saber y ayuda al didáctico a librarse de representaciones epistemológicas erróneas que tienden a inducir su enseñanza.  Pero, la epistemología interviene  a  un nivel  aun más esencial que aquel de la teorización didáctica.

2.   Epistemología y teoría de las situaciones didácticas

Al didáctico le compete la construcción del conocimiento matemático dentro de un medio constituido para este fin, por los individuos, por los estudiantes, por los adultos. En este sentido, el se enfrenta a un problema de elaboración (para la investigación de tipo ingeniero - didáctica), donde el análisis del génesis del conocimiento, por distinguirlo del génesis histórico, que a menudo calificamos de génesis artificiales.

Ciertamente, las contradicciones que gobiernan estos génesis no son idénticas a aquellas que han gobernado el génesis histórico, pero este último permanece sin embargo, para el didáctico, como un punto de anclaje del análisis didáctico, una clase de promontorio de observación, cuando se preocupa por analizar un proceso de enseñanza dado o base de trabajo,  si se discute la elaboración de tal génesis.

Esto, por una razón evidente, bajo el conocimiento de que los problemas que han motivado la introducción de este o el otro concepto como aquellos que han gobernado su evolución, están constituidos por la significación del concepto y que el didáctico, mediante su análisis, esta necesariamente enfrentado a este problema de la significación del concepto.

Más allá del análisis conceptual, la epistemología interviene a este nivel, sobre un plan más general porque aquello que dirige  la enseñanza de las matemáticas, no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, es mas globalmente la transmisión de una cultura. Se ocupa de hacer entrar a los estudiantes dentro del juego matemático.  Pero, ¿qué es el juego matemático? ¿Cuáles son los procesos generales de pensamiento que lo rigen? Es el análisis epistemológico (no necesariamente histórico a este nivel, aun si la aproximación histórica permite entender el aspecto necesariamente histórico o espacial de esta cultura) el que esta encabezando lo concerniente a estas preguntas.

Ella propone al didáctico, un cierto número de preguntas globales y fundamentales para guiar la producción de ingenierías didácticas como el análisis de la enseñanza usual:

* ¿Qué transponer dentro de la enseñanza de los constituyentes de esta cultura y de sus interrelaciones?

* ¿Existe una transposición mínima o un conjunto de transposiciones mínimas a respetar para no desnaturalizar el sentido de esta cultura? 

* ¿Es posible? ¿Bajo que condiciones?

* ¿En que pueden o deben las transposiciones depender de los públicos a los cuales se dirige la enseñanza?

* ¿Cuáles son los inconvenientes que presentan sobre las transposiciones actuales? ¿Cuáles son sus efectos?

Dentro de esta perspectiva, el trabajo del didáctico no solo se limita a integrar estas cuestiones de naturaleza epistemológica a su actividad. Este consiste además en construir los campos teóricos permitiendo el trabajo sobre tales cuestiones y la capitalización de las experiencias didácticas.

En mi opinión, la teoría de las situaciones didácticas elaborada por G. Brousseau (cf. (9)), los conceptos de dialéctica herramienta/objeto y el juego de cuadros elaborado por R. Douady (cf. (10)), así como la noción de situación co-didáctica desarrollada por D. Alibert, M Legrand y F. Richard (cf(11)) son justamente las construcciones que responden a esas necesidades.

Pero imaginemos que interrogamos a quemarropa a un didáctico de la matemática (o de la física por otra parte) aquello que la didáctica ha tomado de la epistemología. Existe una fuerte tendencia a pensar que el primer pensamiento que vendrá al espíritu de nuestro didáctico, la primera palabra que pasara sus labios, no será ni “teoría de las situaciones”, ni “dialéctica herramienta/objeto” ni “juego de cuadros”, ni “situación co - didáctica” - todos estos objetos son percibidos como puramente internos a la didáctica, la epistemología allí es invisible -  pero la palabra “obstáculo” acompaño el pensamiento de Gaston Bachelard, De hecho, es sobre la noción de obstáculo que se tiene tendencia a focalizar la visibilidad  de la epistemología en didáctica.

3.   Epistemología y obstáculos

La noción de obstáculos epistemológico fue introducida por el filósofo y  epistemólogo Gaston Bachelard dentro del libro publicado en 1938 y titulado: “La formación del espíritu científico” (12). Donde el escribió (p13): 

“Cuando buscamos las condiciones psicológicas de los progresos científicos, llegamos pronto a la convicción que estos están en términos de los obstáculos que debe plantear el problema del conocimiento científico. Y no se preocupa por considerar los obstáculos externos como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad del sentido y del espíritu humano: es dentro del acto mismo del conocimiento, íntimamente, que aparecen, por una clase de necesidad funcional,  las lentitudes y los problemas. Aquí mostraremos las causas de estancamiento e incluso de regresión, descubriremos las causas de la inercia que llamaremos los obstáculos epistemológicos. El conocimiento de lo real es una luz que proyecta siempre algunas sombras. Ella no es inmediata y plena nunca. Las revelaciones de lo real son siempre recurrentes. Lo real no será jamás “aquello que podamos creer” pero esto es aquello que siempre debemos pensar. El pensamiento empírico es claro, sobre todo, cuando el aparato de razones ha estado puesto a punto. En correspondencia con un pasado de errores, encontramos la verdad en un verdadero arrepentimiento intelectual. De hecho, conocemos; en contra de un conocimiento anterior, en destrucción de conocimientos mal hechos, en dominación dentro del espíritu mismo, que obstaculiza la espiritualización”

Y dentro de su libro además identifica, a partir de ejemplos históricos, capítulo a capítulo, algunas categorías generales de obstáculos: la primera experiencia, el conocimiento general, el obstáculo verbal, la utilización con abuso de las imágenes familiares, el conocimiento unitario y pragmático, el obstáculo substancialista, el obstáculo realista, el obstáculo animista, el que está al final del conocimiento cuantitativo.

Es necesario señalar sin embargo que Bachelard aparta explícitamente las matemáticas de sus propósitos. Ellas escapan según el a este tipo de funcionamiento y al respecto escribe (22):

“Realmente, la historia de las matemáticas es una maravilla de regularidad. Ella conoce los periodos de estancamiento. Ella no conoce los periodos de errores. Ninguna de las tesis que sustentamos en este libro apunta hacia el conocimiento matemático. Ellas no tratan sino del conocimiento del mundo objetivo”. 

Los didácticos tomaran sin embargo este concepto en didáctica de las matemáticas.

3.1. La introducción de un obstáculo en didáctica de las matemáticas

El primer texto de didáctica de las matemáticas en el cual apareció la noción de obstáculo epistemológico es, a mi conocer, aquel presentado en 1976 por G. Brousseau en la conferencia de la CIEAEM en Louvain la Neuve (13). En ella G. Brousseau ve en particular dentro de la noción de obstáculo la manera de cambiar el significado del error mostrando que:

“El error y fracaso no tienen el papel simplificado  que queremos a veces hacerles jugar. El error no es simplemente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, como lo creemos de acuerdo a las teorías empíricas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenia su interés, su éxito, pero que ahora se revela falso o simplemente inadaptado.  Los errores de ese tipo no son erráticos e imprevisibles, ellos son establecidos como obstáculos. Adicionalmente dentro del funcionamiento del maestro y del estudiante, el error se constituye como el sentido del conocimiento adquirido.”

Dentro de la perspectiva que es la base de un aprendizaje por adaptación en un medio problemático, el objeto principal de la didáctica es justamente “ estudiar las condiciones que deben cumplir las situaciones o problemas propuestos al estudiante para favorecer la aparición, el funcionamiento y el resultado de esas concepciones sucesivas”. Esto conduce a la noción de salto  de información, solo un salto información suficiente podrá, de hecho, bloquear los mecanismos de adaptación y de acomodación  de las concepciones anteriores y llevan consigo la entrega en causa de un conocimiento obstáculo.

En el texto, G Brousseau distingue tres orígenes fundamentales de los obstáculos que se encuentran en la enseñanza de las matemáticas:

* Un origen ontogenético, correspondiente a los obstáculos unidos a las limitaciones  de las capacidades cognitivas de los estudiantes comprometidos dentro del proceso de enseñanza.

* Un origen didáctico para los obstáculos ligados a las opciones del sistema de enseñanza.

* Un origen epistemológico, finalmente, para los obstáculos relacionados  a la resistencia a un saber mal adaptado, es decir los obstáculos  al sentido de Bachelard.

Y, al mismo tiempo, él resalta la importancia para el didáctico del análisis epistemológico, la identificación de los obstáculos que él permite, dando la posibilidad de escoger, en medio de las dificultades que generalmente se encuentran por la enseñanza dentro del aprendizaje de tal o cual noción, aquellas que son realmente inevitables porque constituyen  el desarrollo del conocimiento.

Seguidamente él intenta ilustrar su teorización considerando la enseñanza de decimales y la identificación de un obstáculo didáctico mayor, que consiste tratar los decimales como los enteros con una coma y dos obstáculos epistemológicos:  el problema de la simetrización de N para la multiplicación y la construcción de D como medio de aproximación a Q de una parte. Y de otra parte, la concepción de los racionales y de los decimales como razones, y después como aplicaciones lineales operando dentro de Q. Pero la prueba de la calidad del obstáculo epistemológico, no está realmente  dada y el análisis tiende  a diluirse dentro de la presentación de las situaciones de enseñanza conocidas para “superar” los obstáculos.

Un segundo artículo, enfocado a esta noción y titulado “Epistemología de los números negativos” fue publicado en 1981 en la revista Recherches en Didactique des Mathematiques (G. Glaeser (14)). G. Glaeser intenta, es éste, identificar los obstáculos que ha marcado históricamente el desarrollo conceptual de los números negativos, preocupándose por precisar (p. 304) que el utiliza dentro de sus artículo las palabras “obstáculo, dificultad, umbral, síntoma” muy inocentemente, estima que:

“No es con la continuación de numerosos trabajos que se estará en condiciones de juzgar las distinciones pertinentes, útiles para el desarrollo de la didáctica experimental”.

Su análisis de textos históricos llevó a G. Glaeser a identificar dentro de la historia de los números negativos una decena de obstáculos revelados por una veintena de síntomas, obstáculos en particular con una compresión satisfactoria de las reglas de los signos, una regla ya tratada por la Aritmética de Diofante, al final del III siglo antes de J.C. así no se haya hecho aun referencia a los números negativos:

“Es aquí en donde falta multiplicar por lo que falta de lo que es positivo, mientras que aquello que falta multiplicar por aquello que es positivo, dando aquello que es lo que falta” ...y que requerirá por tanto cerca de 1500 años después de ser realmente elucidado.

Nos limitamos a citar la primera lista de obstáculos dados por G. Glaeser:

1.     Inaptitud para manipular las cantidades negativas aisladas

2.     Dificultad para dar un sentido a las cantidades negativas aisladas

3.   Dificultad para unificar la derecha numérica, que se manifiesta por ejemplo dentro de la consideración de la derecha como una yuxtaposición de dos medias derechas opuestas.

4.     La ambigüedad de dos ceros (cero origen y cero absoluto)

5.     La dificultad de apartarse del sentido de “concreto” atribuido a los números

6.  El deseo de un modelo unificado, es decir por ejemplo el deseo de hacer funcionar a cualquier precio para el registro multiplicativo el modelo pérdida/ganancia eficaz para el registro aditivo y reproducir el tablero que propone para dar cuenta, de manera sistemática, de la  superación o no de los diferentes obstáculos por cierto número de matemáticos, a través de la historia.

Autores/obstáculos	1	2	3	4	5	6
Diofante	-
Simon Stevin	+	-	-	-	-	-
René descartes	+	?	-	?
Colin McLaurin	+	+	-	-	+	+
Leonard Euler	+	+	+	?	-	-
Jean d’Alembert	+	-	-	-	-	-
Lazare Carnot	+	-	-	-	-	-
Pierre de Laplace	+	+	+	?	-	?
Agustin Cauchy	+	+	-	-	+	?
Herman Hankel	+	+	+	+	+	+

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2 La noción de “representaciones epistemológicas” se introduce aquí para diseñar las concepciones que se forjan dentro de este dominio un individuo dado, a través de su propia vivencia  matemática.  Esa noción se acerca a las representaciones “metacognitivas” introducidas por A. Robert y J Robinet (cf. por ejemplo (3)): las representaciones epistemológicas constituyen, de hecho, uno de los componentes de las representaciones metacognitivas.

3 En algunos textos recientes (cf por ejemplo (7)). Y. Chevallard rechaza los términos masivamente utilizados “apropiación” y “adquisición”. Estos términos reflejan para el directamente la relación cultural del saber en vigor dentro de nuestra sociedad, una relación cultural que pesa sobre la institución escolar e indirectamente sobre el didáctico pero no esta adaptado para la aprehensión teórica satisfactoria de los fenómenos en juego. Esta visión cultural es particularmente dicotómica: se posee el saber pero no se le posee como una casa o un carro, y ese hecho tiende a negar la diversidad de las resultados del saber. Se discute, tal vez, aun la presencia de una ficción que obliga a entretener el sistema de enseñanza pero en el cual el didáctico no debe arriesgarse a ser engañado. La teorización en términos de resultados del saber que se desarrolla dentro de una perspectiva antropológica es una herramienta que le va a permitir retomarse.

* Imagen 1: tomada de https://www.goconqr.com/mapamental/18559832/fundamentos-de-la-epistemologia

* Imagen 2: tomada de https://infogram.com/epistemologia-y-pedagogia-1h7k230gd5xvg2x